COMBINATORIA

ÍNDICE :

 1.      Introducción

2.      Número factorial

3.      Variaciones

4.      Permutaciones

5.      Combinaciones

6.      Números combinatorios

7.      Triángulo de Tartáglia

8.      Binómio de Newton

 Introducción : La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas . Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en árbol . Estos recuentos están intimamente relacionados con la probabilidad .

 Número factorial : es el producto de n^os consecutivos naturales

                                                 n! = (n)·(n-1)·(n-2)·.........3·2·1

Todo producto tiene al menos dos factores , luego debemos admitir que 0! = 1 y que 1! = 1

 

Variaciones ordinarias :

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n ( nm ) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que :

-          los n elementos que forman el grupo son distintos ( no se repiten )

-          Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados ( influye el orden ) .

                                                         V_m,n =

 

Variaciones con repetición : se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que :

-          los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos

-          Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados ( influye el orden ) .

                                                         VR_m,n = mⁿ

 Permutaciones ordinarias : se llama permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que :

-          en cada grupo intervienen los m elementos sin repetirse ninguno (intevienen todos los elementos )

-          dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos m elementos es distinto ( influye el orden ) .

                                                         P_m = m!

 

Permutaciones con repetición : se llama permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercer c .......... a los distintos qrupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :

-          intervienen todos los elementos

-          dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos .

 

                                                         PR_m^a,b,c... =  

Combinaciones : se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n ( nm ) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que :

-          cada agrupación está formada por n elementos distrintos entre sí

-          dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden .

C_m,n =  =  = número combinatorio

 

Combinaciones con repetición : se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n , a los distintos grupos formados por n elementos de manera que :

-          los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos

-          dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento , sin tener en cuenta el orden .

 

CR_m,n =

Por ejemplo las combinaciones con repetición de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son :

aa ab ac ad

bb bc bd

cc cd

dd 

Otro ejemplo : en una bodega hay 12 botellas de ron , 12 de ginebra y 12 de anís .Un cliente compró 8 botellas en total . ¿Cuántas posibilidades hay ?

                                         CR_8,3 =  120

Resumen :

 

 

 

Números combinatorios : se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que nm .

                                                       =

 

Propiedades :

§         == 1                

§         =                 

§         +=            

§           +  +................+=

 

Triángulo de Tartaglia o Pascal :

 

 

 

 

 

 

Binomio de Newton :

(a + b) = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴

...........................................

Si nos fijamos atentamente , los coeficientes coinciden con los del triángulo de Pascal , los exponentes de a van disminuyendo desde n hasta 0 y los de b van aumentando desde 0 hasta n , y en cada término la suma de los exponentes de a y b es igual a n .

Generalizando :

(a + b)ⁿ =  aⁿb⁰ + a^n-1b¹ + ......................+a¹b^n-1 + a⁰bⁿ